众人都知说念麦克斯韦从麦克斯韦方程组里推导出了电磁波，然后通过计议发现电磁波的速率刚巧等于光速。于是，麦克斯韦就预言“光是一种电磁波”，这个预言其后被赫兹阐述。
电磁波的发现让麦克斯韦和他的电磁表面走上了神坛，也让东说念主类社会插足了无线电时期。你当今可以随时给远处的一又友打电话，能用手机看科学类著作，都跟电磁波有着密切的关系。那么，麦克斯韦到底是怎样从麦克斯韦方程组推导出电磁波方程的呢？这篇著作咱们就来一皆见证这一古迹的时刻。
01什么是波？
要知道电磁波，最初咱们得了解什么是波？有些东说念主可能合计这个问题有点奇怪，什么是波这还用问么？我丢一块石头到水里，水面上就会造成一个水波；我抖动一根绳索，绳索上就会就会出现一个波动。生存中还有许多这种波动表象，我诚然念书少，但是什么是波照旧知说念的。
没错，水波、绳索上的波动这些都是波，我在这里抛出“什么是波？”这个问题并不是想来掰指头数一数哪些东西是波，哪些不是，而是想问：统统这些叫作波的东西有什么共同的特征？咱们怎样用一套和洽的数学话语来态状波？
咱们酌量物理，等于从万千变化的天然界的多样表象里总结出某种一致性，然后用数学的话语定量、精准的态状这种一致的表象。当今咱们发现了水波、绳索上的波等许多表象都有这样一种波动表象，那咱们天然就要去寻找这种波动表象背后和洽的数学轨则，也等于寻找态状波动表象的方程，即波动方程。
为了寻找和洽的波动方程，咱们先来望望最毛糙的波：抖动一根绳索，绳索上就会出现一个波沿着绳索出动，以恒定的频率抖动就会出现相接不绝的波。
为了更好地酌量绳索上的波动，咱们先缔造一个坐标系，然后把注释力聚首到其中的一个波上。于是，咱们就看到一个波以一定的速率v向x轴的正主见（右边）出动，如下图：
那么，咱们该怎样去态状这种波动呢？
最初，咱们知说念一个波是在收敛地出动的，上图仅仅波在某个时刻的步地，它下一个时刻就会往右边出动少量。出动了几许也很好计议：因为波速为v，是以Δt时刻以后这个波就会往右出动v·Δt的距离。
另外，我岂论这个时刻波是什么局势的弧线，归正我可以把它作为一系列的点（x，y）的围聚，这样咱们就可以用一个函数y=f(x)来态状它（函数等于一种对应（映射）关系，在函数y=f(x)里，每给定一个x，通过一定的操作f(x)就能得到一个y，这一双（x，y）就构成了坐标系里的一个点，把统统这种点连起来就得到了一条弧线）。
然后，y=f(x)仅仅态状某一个时刻的波的局势，要是咱们想态状一个完竣动态的波，就得把时刻t琢磨进来。也等于说咱们的波形是跟着时刻变化的，即：我绳索上某个点的纵坐标y不仅跟横轴x关联，还跟时刻t关联，这样的话咱们就得用一个二元函数y=f(x，t)来态状一个波。
这一步很好知道，它无非告诉咱们波是随时刻（t）和空间（x）变化的。但是这样还不够，天下上到处都是跟着时刻、空间变化的东西，比如苹果下降、篮球在天上飞，它们跟波的实验区别又在哪呢？
02波的实验
仔细想一下咱们就会发现：波在传播的时候，诚然不同期刻波所在的位置不一样，但是它们的局势永恒是一样的。也等于说前一秒波是这个局势，一秒之后波诚然不在这个方位了，但是它依然是这个局势，这是一个很强的适度条目。有了这个适度条目，咱们就能把波和其它在时刻、空间中变化的东西折柳开了。
开运体育中国官网入口咱们这样琢磨：既然用f(x，t)来态状波，那么波的开动局势（t=0时的局势）就可以示意为f(x，0)。经过了时刻t之后，波速为v，那么这个波就向右边出动了vt的距离，也等于把开动局势f(x，0)往右出动了vt，那么这个收尾可以这样示意：f(x-vt，0)。
为什么把一个函数的图像往右出动了一段vt，收尾却是用函数的自变量x减去vt，而不是加上vt呢？这是一个中学数学问题，我这里稍许帮众人回首一下：你们想，要是我把一个函数图像f(x)往右出动了3，那么我正本在1这个方位的值f(1)，当今就成了4这个方位的函数值。是以，要是你还想用f(x)这个函数，那笃信就得用4减去3（这样身手得到f(1)的值），而不是加3（4+3=7，f(7)在这里可莫得什么酷爱）。
是以，要是咱们用f(x，t)态状波，那么开动时刻（t=0）的波可以示意为f(x，0)。经落后刻t之后的波的图像就等于开动时刻的图像往右出动了vt，也等于f(x-vt，0)。于是，咱们就可以从数学上给出波迷惑的实验：
也等于说，只须有一个函数疯狂f(x，t)=f(x-vt，0)，疯狂轻易时刻的局势都等于开动局势平移一段，那么它就示意一个波。水波、声波、绳索上的波、电磁波、引力波都是如斯，这也很允洽咱们对波的直不雅知道。
这里咱们是从纯数学的角度给出了波的一个态状，底下咱们再从物理的角度来分析一下波的造成原因，望望能不可得到更多的信息。
03张力
一根绳索放在地上的时候是静止不动的，咱们甩一下就会出现一个波动。咱们想一想：这个波是怎样传到远处去的呢？咱们的手仅仅拽着绳索的一端，并莫得遭遇绳索的中间，但是当这个波传到中间的时候绳索确乎动了，绳索会动就示意有劲作用在它身上（牛爵爷告诉咱们的道理），那么这个力是那儿来的呢？
稍许分析一下咱们就会发现：这个力只能能来自绳索相邻点之间的相互作用，每个点把我方近邻的点“拉”一下，近邻的点就动了（就跟咱们排队报数的时候只奉告你左右的阿谁东说念主一样）这种绳索里面之间的力叫张力。
张力的主张也很好知道，比如咱们用劲拉一根绳索，我明明对绳索施加了一个力，但是这根绳索为什么不会被拉长？跟我的手最近的阿谁点为什么不会被拉动？
谜底天然是这个点阁下的点给这个质点施加了一个相背的张力，这样这个点一边被我拉，另一边被它左近的点拉，两个力的后果对消了。但是力的作用又是相互的，阁下的点给端点施加了一个张力，那么这个阁下的点也会受到一个来自端点的拉力，然而这个阁下的点也没动，是以它也势必会受到更里面点的张力。这个流程可以一直传播下去，终末的收尾等于这跟绳索统统的方位都会张力。
况且，咱们还可以料定：要是绳索的质料忽略不计，绳索也莫得打结莫得被拉长，那么绳索里面的张力处处额外（只须有一个点双方的张力不等，那么这个点就应该被拉走了，绳索就会被拉变形），这是个很遑急的论断。
通过上头的分析，咱们知说念了当一根瞎想绳索处于紧绷景象的时候，绳索里面存在处处额外的张力。当一根绳索静止在大地的时候，它处于毒害景象，莫得张力，但是当一个波传到这里的时候，绳索会变成一个波的局势，这时候就存在张力了。恰是这种张力让绳索上的点高下振动，是以，分析这种张力对绳索的影响就成了分析波动表象的要道。
04波的受力分析
那么，咱们就从处于波动景象的绳索中罗致很小的一段AB，咱们来分析一下这个小段绳索在张力的作用下是怎样迷惑的。宽解，咱们这里并不会波及什么复杂的物理公式，咱们所需要的公式就一个，大名鼎鼎的牛顿第二定律：F=ma。
牛顿第一定律告诉咱们“一个物体在不受力或者受到的合外力为0的时候会保握静止或者匀速直线迷惑景象”，那么要是合外力不为0呢？牛顿第二定律就接着说了：要是合外力F不为零，那么物体就会有一个加快度a，它们之间的关系就由F=ma来定量态状（m是物体的质料）。也等于说，要是咱们知说念一个物体的质料m，只须你能分析出它受到的合外力F，那么咱们就可以凭据牛顿第二定律F=ma计议出它的加快度a，知说念加快度就知说念它接下来要怎样动了。
牛顿第二定律就这样把一个物体的受力情况（F）和迷惑情况（a）迷惑起来了，咱们想知说念一个物体是怎样动的，只须去去分析它受到了什么力就行了，是以它牛。
再来看咱们的波，咱们从处于波动景象的绳索里收用很小的一段AB，咱们想知说念AB是怎样迷惑的，就要分析它受到的合外力。因为不琢磨绳索的质料，是以就无谓琢磨绳索的重力，那么，咱们就只须分析绳索AB两头的张力T就行了。
如上图，绳索AB受到A点朝左下方的张力T和B点朝右上方的张力T，况且咱们还知说念这两个张力是额外的，是以才把它都记为T。但是，咱们知说念波动部分的绳索是鬈曲的，那么这两个张力的主见是不一样的，这少量从图中可以相称昭彰的看出来。咱们假定A点处张力的主见跟横轴夹角为θ，B点跟横轴的夹角就昭彰不一样了，咱们记为θ+Δθ。
因为绳索上的点在波动时是高下迷惑，是以咱们只琢磨张力T在高下方朝上的重量，水往常朝上的就不琢磨了。那么，咱们把AB两点的张力T都领会一下，稍许用少量三角函数的常识咱们就能发现：A点出朝上的张力为T·sin（θ+Δθ），B点向下的张力为T·sinθ。那么，统统这个词AB段在竖直方朝上受到的协力就等于这两个力相减：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ。
好了，按照牛顿第二定律F=ma，咱们需要知说念物体的合外力F、质料m和加快度a，当今咱们仍是知说念了合外力F，那么质料m和加快度a呢？
05波的质料分析
质料好说，咱们假定绳索单元长度的质料为μ，那么长度为Δl的绳索的质料等于μ·Δl。
但是，因为咱们取的辱骂常小的一段，咱们假定A点的横坐标为x，B点的横坐标为x+Δx，也等于说绳索AB在横坐标的投影长度为Δx，那么，当咱们取的绳长相称短的时候，咱们就可以近似用Δx代替Δl，这样绳索的质料就可以示意为：μ·Δx（本来我在琢磨这里要不要再解释一下微积分念念想，但是一想，会看这篇电磁波篇的，必须是仍是提前看了麦克斯韦方程组的积分篇和微分篇，而我在那两篇里仍是先容过这种念念想了，那这里就不说了~）。
质料料理了，剩下的等于加快度a了。你可能以为我仍是得到了合外力（F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）和质料m（μ·Δx），那么剩下笃信等于用合外力F除以质料m得到加快度a（牛顿第二定律），不不不，这样就不好玩了。咱们还可以从另一个角度来得到加快度a，然后把它们作为拼盘拼起来。从那儿得到加快度呢a？从态状波的函数f(x，t)里。
06波的加快度分析
不知说念众人还铭刻咱们在前边说的这个态状波的函数y=f(x，t)么？这个函数的值y示意的是在x这个方位，时刻为t的时候这少量的纵坐标，也等于波的高度。咱们当今要求的也等于AB高下波动时的加快度，那么，怎样从这个态状点位置的函数里求出加快度a呢？
这里咱们再来知道一下加快度a，什么叫加快度？从名字就可以嗅觉到，这个量是用来推测速率变化快慢的。加快度嘛，笃信是速率加得越快，加快度的值就越大。假如一辆车第1秒的速率是2m/s，第2秒的速率是4m/s，那么它的加快度等于用速率的差（4-2=2）除以时刻差（2-1=1），收尾等于2m/s²。
再往来想一下，咱们是怎样求一辆车的速率的？咱们是用距离的差来除以时刻差的。比如一辆车第1秒钟距离起初20米，第2秒钟距离起初50米，那么它的速率等于用距离的差（50-20=30）除以时刻差（2-1=1），收尾等于30m/s。
不知说念众人从这两个例子里发现了什么莫得？我用距离的差除以时刻差就得到了速率，我再用速率的差除以时刻差就得到了加快度，这两个流程都是除以时刻差。那么，要是我把这两个流程合到一块呢？那是不是就可以说：距离的差除以一次时刻差，再除以一次时刻差就可以得到加快度？
这样表述并不是很准确，但是可以很通俗的让众人知道这个念念想。要是把距离看作对于时刻的函数，咱们对这个函数求一次导数（等于上头的距离差除以时刻差，只不外趋于无限小）就得到了速率的函数，对速率的函数再求一次导数就得到了加快度的示意。是以，咱们把一个对于距离（位置）的函数对时刻求两次导数，就可以得到加快度的抒发式。
波的函数f(x，t)不等于态状绳索上某少量在不同技能t的位置么？那咱们对f(x，t)求两次对于时刻的导数，天然就得到了这点的加快度a。因为函数f是对于x和t两个变量的函数，是以咱们只能时刻的偏导∂f/ ∂t，再求一次偏导数就加个2上去。于是咱们就可以这样示意这点的加快度a=∂²f/ ∂t²（对于偏导数的先容，微分篇里有详确文书，这里不再说明）。
这样，咱们就把牛顿第二定律F=ma的三身分都凑皆了：F= T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ，m=μ·Δx，a=∂²f/ ∂t²。把它们围聚在一皆就可以召唤神，阿不，就可以写出AB的迷惑方程了：
这个用牛顿第二定律写出来的波动方程，看起来怎样样？嗯，似乎有点丑，看起来也不太露出，方程左边的东西看着太笼统了，咱们还需要对它进行一番革新。那怎样革新呢？咱们可以先把sinθ给干掉。
07方程的革新
为了大致告成地干掉sinθ，咱们先往来顾一下基本的三角函数：
如上图，右边是一个直角三角形abc，那么角θ的正弦值sinθ等于对边c除以斜边a，正切值tanθ等于对边c除以邻边b。
当这个角度θ还很大的时候，a比b要昭彰长一些。但是，一花旦度θ相称相称小，可以瞎想，邻边b和斜边a就将近重合了。这时候咱们是可以近似的认为a和b是额外的，也等于a≈b，于是就有c/b≈c/a，即tanθ≈sinθ。
也等于说，在角度θ很小的时候，咱们可以用正切值tanθ代替正弦值sinθ。咱们假定这跟绳索的扰动相称小，形变相称小，那么θ和θ+Δθ就都相称小，那么它们的正弦值就都可以用正切值代替。于是，阿谁波动方程左边的sin(θ+Δθ)-sinθ就可以替换为：tan(θ+Δθ)-tanθ。
为什么咱们要用正切值tanθ代替正弦值sinθ呢？因为正切值tanθ还可以代表一条直线的斜率，代表弧线在某少量的导数。想想正切值的抒发式tanθ=c/b，要是建一个坐标系，那么这个c刚好等于直线在y轴的投影dy，b等于在x轴的投影dx，它们的比值刚好等于导数dy/dx，也等于说tanθ=dy/dx。
然而，因为波的函数f(x，t)是对于x和t的二元函数，是以咱们只能求某少量的偏导数，那么正切值就等于它在这个点的偏导数：tanθ=∂f/ ∂x。那么，正本的波动方程就可以写成这样：
这里我稍许解释一下偏导数的象征，咱们用∂f/ ∂x示意函数f(x，t)的偏导数，这是一个函数，x可以取多样各类的值。但是要是我加一个竖线|，然后在竖线的右下角标上x+Δx就示意我要求在x+Δx这个方位的导数。
再来看一下这个图，咱们仍是商定了A点的横坐标为x，对应的角度为θ；B点的横坐标是x+Δx，对应的角度为θ+Δθ。是以，咱们可以用x+Δx和x这两处的偏导数值代替θ+Δθ和θ这两处的正切值tan（θ+Δθ）和tanθ，是以波动方程才可以写成上头那样：
接着，要是咱们再对方程的双方同期除以Δx，那左边就变成了函数∂f/ ∂x在x+Δx和x这两处的值的差除以Δx，这其实等于∂f/ ∂x这个函数的导数抒发式。也等于说，双方同期除以一个Δx之后，左边就变成了偏导数∂f/ ∂x对x再求一次导数，那等于f(x，t)对x求二阶偏导数了。
上头咱们用咱们仍是用∂²f/ ∂t²来示意函数对t的二阶偏导数，那么这里天然就可以用∂²f/ ∂x²来示意函数对x的二阶偏导数。然后双方再同期除以T，得到方程就纯粹多了：
把方程左边的tan(θ+Δθ)-tanθ变成了函数f(x，t)对空间x的二阶偏导数，这个流程相称的遑急，众人可以好好体会一下这个流程。正切值tanθ等于一阶导数，然后两个正切值的差除以自变量的变化就又产生了一次导数，于是统共就有了两阶，是以咱们身手得到上头阿谁纯粹的式子。
08经典波动方程
再望望方程右边的μ/T，要是你仔细去算一下μ/T的单元，你会发现它刚好等于速率的往常，也等于说要是咱们把一个量界说成μ/T的往常根，那么这个量的单元刚好等于速率的单元。可以瞎想，这个速率天然等于这个波的传播速率v：
这样界说速率v之后，咱们最终的波动方程就可以亮相了：
这个方程等于咱们最终要找的经典波动方程，为什么把它作作念佛典的波动方程呢？因为它莫得琢磨量子效应啊，在物理学里，经典就辱骂量子的同义词。要是咱们要琢磨量子效应，这个经典的波动方程就没用了，咱们就必须转而使用量子的波动方程，那等于大名鼎鼎的薛定谔方程。
薛定谔等于从这个经典波动方程登程，迷惑德布罗意的物资波主张，硬猜出了薛定谔方程。这个方程让物理学家们从被海森堡的矩阵独揽的怯怯中沉静了出来，重新回到了微分方程的好意思晴天下。薛定谔方程诚然好坏，但是它并莫得琢磨狭义相对论效应，而高速迷惑（近光速）的粒子在微不雅天下是很常见的，咱们也知说念当物体接近光速的时候就必须琢磨相对论效应，但是薛定谔方程并莫得作念到这少量。
最终让薛定谔方程相对论化是狄拉克，狄拉克把我方关在房间三个月，最终逼出了相似大名鼎鼎的狄拉克方程。狄拉克方程初度从表面上预言了反物资（正电子），诚然其时的科学家们认为狄拉克这是在歪缠，博亚体育但是我国的物理学家赵忠尧先生却险些在同期就初度在实验室里不雅测到了正负电子消灭的情况。
另外，狄拉克的责任也鼓舞了量子场论的出生，灵通了一扇让东说念主无比赞佩的新天下大门。物理学家们沿着这条路依从了电磁力、强力、弱力，缔造起了粒子物理的法度模子，于是四海清平，六合大定，除了那活该的引力。这些精妙绝伦的故事咱们背面再讲，要是把这些故事写成一册《量子硬汉传》，嗯，一定不比金庸的武侠逊色~
好了，回首正题，看到这个经典波动方程到背面还能掀翻那么大的浪来，是不是倏得就对它骚然起敬了呢？咱们这样一顿操作推导出了经典波动方程，有的一又友可能有点懵，不关键，咱们再来捋一下。这个看着很复杂的，包含了二阶偏导数的方程其实就仅仅告诉咱们：咱们把这跟绳索极小的一段看作一个质点，那么这个质点疯狂牛顿第二定律F=ma，仅此汉典。
09复盘
咱们统统这个词推导流程不外等于去寻找F=ma中的这三个量。咱们把绳索的张力在竖直主见作念了领会，然后得到了它在竖直方朝上的协力F（T·sin（θ+Δθ）-T·sinθ）；咱们界说了单元长度的质料μ，然后就可以计议那小段绳索的质料m（μ·Δx）；咱们通过对波的函数f(x，t)的分析，发现要是对这种示意距离（位移）的函数对时刻求一次偏导数就得到了速率，再求一次偏导数就得到了加快度，于是咱们就得到了这段绳索的加快度a（∂²f/ ∂t²）。然后咱们就把这些量按照牛顿第二定律F=ma拼了起来。
在处理问题的流程中，咱们作念了许多近似：因为咱们是取得很小的一段，那么咱们就可以用Δx近似代替绳索的长度Δl；假定扰动很小，绳索偏离x轴很小，那么角度θ就很小，咱们就近似用正切值tanθ代替正弦值sinθ。许多东说念主乍一看，合计这样严格的推导怎样能这样减轻的近似呢？你这里近似那里近似，得到的最终收尾照旧准确的么？
要知道这个问题，就得认真去学习微积分了，我当今告诉你微积分的中枢念念想等于一种以直代曲的近似，你信么？微积分里等于用多样小段小段的直线去近似的代替弧线，但是得到的收尾却辱骂常精准的。因为咱们可以把这些线段取得相称相称的小，或者说是无限小，那么这个格外也就徐徐变成无限小了。是以咱们在分析这跟绳索的时候，也都强调了是取相称小的一段，给一个相称小的扰动，得到一个相称小的角度θ。
另外，tanθ等于一次导数，然后它们的差再除以一次Δx，就又出现了一次导数，是以方程的左边就出现了f(x，t)对位置x的两次偏导数。方程的右边等于函数f(x，t)对时刻t求两次偏导数得到的加快度a（求一次导数得到速率，求两次就得到加快度）。
是以，诚然咱们看到的是一个波动方程，其实它仅仅一个角色了的牛顿第二定律F=ma。知道这点，波动方程就没什么奇怪的了。咱们再来仔细的扫视一下这个方程：
这个波动方程的酷爱也很直不雅，它告诉咱们f(x，t)这样一个随时刻t和空间x变化的函数，要是这个二元函数对空间x求两次导数得到的∂²f/ ∂x²和对时刻t求两次导数得到的∂²f/ ∂t²之间疯狂上头的那种关系，那么f(x，t)态状的等于一个波。
要是咱们去解这个方程，咱们得到的等于态状波的函数f(x，t)。而咱们前边对波作念数学分析的时候得到了这样一个论断：要是一个函数f(x，t)态状的波，那么就一定疯狂f(x，t)=f(x-vt，0)。是以，波动方程的解f(x，t)笃信也都疯狂前边这个关系，这少量感酷爱的一又友可以我方下去讲明一下。
好了，经典的波动方程咱们就先讲到这里。有了波动方程，你会发现咱们通过几步毛糙的运算就能从麦克斯韦方程组中推导出电磁波的方程，然后还能细则电磁波的速率。
10真空中的麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组的微分局势是这样的：
这组方程的世代相承之前仍是作念了详确的先容，这里不再多说。这组方程里，E示意电场强度，B示意磁感应强度，ρ示意电荷密度，J示意电流密度，ε0和μ0分别示意真空中的介电常数和磁导率（都是常数），▽是矢量微分算子，▽·和▽×分别示意散度和旋度：
接下来咱们的任务，等于看怎样从这组方程里推出电磁波的方程。
最初，要是简直能造成波，那么这个波笃信就要往传闻，在远隔了电荷、电流（也等于莫得电荷、电流）的方位它还能我方传播。是以，咱们先让电荷密度ρ和电流密度J都等于0，当ρ=0，J=0时，咱们得到的等于真空中的麦克斯韦方程组：
有些东说念主合计你怎样能让电荷密度ρ等于0呢？这样第一个方程就成了电场的散度▽·E=0，那不就等于说电场强度E等于0，莫得电场了么？莫得电场还怎样来的电磁波？
许多东说念主入门者都会有这样一种曲解：好像合计电场的散度▽·E等于0了，那么就莫得电场了。其实，电场的散度等于0，仅仅告诉你通过包含这少量的无限小曲面的电通量为0，电通量为0不代表电场E为0啊，因为我可以出入这个曲面的电通量（电场线的数目）额外。这样有几许正的电通量（进去的电场线数目）就有几许负的电通量（出来的电场线数目），出入正负对消了，是以总的电通量照旧0。于是，这点的散度▽·E就可以为0，而电场强度E却不为0。
是以这个众人一定要折柳了了：电场E的散度为0不代表电场E为0，它仅仅要求电通量为0汉典，磁场也一样。
这样咱们再来扫视一下真空中（ρ=0，J=0）的麦克斯韦方程组：方程1和2告诉咱们真空中电场和磁场的散度为0，方程3和4告诉咱们电场和磁场的旋度等于磁场和电场的变化率。前两个方程都是寂寥的态状电和磁，后两个方程则是电和磁之间的相互关系。咱们隐浑沌约也能嗅觉到：要是要推导出电磁波的方程，你笃信得把上头几个式子详细起来，因为波是要往传闻的，而你上头单独的方程都仅仅态状某少量的旋度或者散度。
有一个很毛糙的把它们都详细在一皆的设施：对方程3和方程4双方同期再取一次旋度。
方程3的左边是电场的旋度▽×E，对它再取一次旋度就变成了▽×（▽×E）；方程3的右边是磁场的变化率，对右边取一次旋度也可以得到磁场B的旋度▽×B，这样不就刚好跟方程4谋划起来了么？对方程4双方取旋度看起来也一样，这看起来是个可以的兆头。
可能有些一又友会有一些疑问：你凭什么对方程3和4的双方取旋度，而不取散度呢？要是感酷爱你可以双方都取散度试试，你会发现电场E的旋度取散度▽·（▽×E）的收尾恒等于0。
这少量你看方程3 的右边会更了了，方程3的右边是磁场的变化率，你要是对方程左边取散度，那么右边也得取散度，而右边磁场的散度是恒为0的（▽·B=0等于方程2的内容）。这样就得不出什么故酷爱的收尾，你算出0=0能得到什么呢？
是以，咱们当今的问题变成了：怎样求电场E的旋度的旋度（▽×（▽×E））？因为旋度毕竟和叉乘密切干系，是以咱们照旧先来望望叉乘的叉乘。
11叉乘的叉乘
在积分篇和微分篇里，我仍是跟众人详确先容了矢量的点乘和叉乘，况且咱们还知说念点乘的收尾A·B是一个标量，而叉乘的收尾A×B是一个矢量（主见可以用右手定章来判断，右手从A指向B，大拇指的主见等于A×B的主见）。
而点乘和叉乘都是矢量之间的运算，那么A·B的收尾是一个标量，它就不可再和其它的矢量进行点乘或者叉乘了。但是，A×B的收尾仍然是一个矢量啊，那么按照道理它还可以连接跟新的矢量进行点乘或者叉乘运算，这样咱们的运算就可以有三个矢量参与，这种收尾咱们就称为三重积。
A·（B×C）的收尾是一个标量，是以这叫标量三重积；A×（B×C）的收尾照旧一个矢量，它叫矢量三重积。
标量三重积A·（B×C）其实很毛糙，我在微分篇说过，两个矢量的叉乘的大小等于它们构成的平行四边形的面积，那么这个面积再和一个矢量点乘一把，你会发现这刚好等于三个矢量A、B、C构成的平行六面体的体积。
这个众人对着上头的图稍许一想就会明白。况且，既然是体积，那么你减轻更换它们的要领笃信都不会影响最终的收尾。咱们确切要重心琢磨的，照旧矢量三重积。
矢量三重积A×（B×C），跟咱们上头说电场E旋度的旋度▽×（▽×E）局势相近，密切干系。它莫得上头标量三重积那样毛糙直不雅的几何酷爱，咱们好像只能从数学上去推导，这个推导流程，哎，我照旧平直写收尾吧：
A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B）。
收尾是这样个东西，是不是很丢脸？嗯，确乎有点丑。不外记这个公式有个毛糙的口诀：纵横阖捭。什么叫纵横阖捭呢？昔日秦相范雎，啊不，A×（B×C）里的A距离B近一些，距离C远一些，是以A要连合C（A·C前边的允洽是正号）攻打B（A·B前边的象征是负号），这样这个公式就好记了，感酷爱的可以我方去完成推导的流程。
12旋度的旋度
有了矢量三重积的公式，咱们就来邯郸学步，来套一套电场E的旋度的旋度▽×（▽×E）。咱们对比一下这两个式子A×（B×C）和▽×（▽×E），好像只须把A和B都换成▽，把C换成E就行了。那么，矢量三重积的公式（A×（B×C）=B（A·C）-C（A·B））就变成了：
▽×（▽×E）=▽（▽·E）-E（▽·▽）。
嗯，▽（▽·E）示意电场E的散度的梯度，散度▽·E的收尾是一个标量，标量的梯度的故酷爱的，但是背面阿谁E（▽·▽）是什么鬼？两个▽算子挤在一皆，中间照旧一个点乘的象征，看起来好像是在求▽的散度（▽·），然则▽是一个算子，又不是一个矢量函数，你怎样求它的散度？况且两个▽前边有一个电场E，怎样E还跑到▽算子的前边去了？
咱们再看一下矢量三重积的公式的背面一项C（A·B）。这个式子的酷爱是矢量A和B先进行点乘，点乘的收尾A·B是一个标量，然后这个标量再跟矢量C相乘。很昭彰的，要是是一个标量和一个矢量相乘，那么这个标量放在矢量的前边背面都无所谓（3C=C3），也等于说C（A·B）=（A·B）C。
那么，相似的，E（▽·▽）就可以换成（▽·▽）E，而它还可以写成▽²E，这样就牵连出了另一个大名鼎鼎的东西：拉普拉斯算子▽²。
13拉普拉斯算子▽²
拉普拉斯算子▽²在物理学界可谓大名鼎鼎，它看起来好像是哈密顿算子▽的往常，其实它的界说是梯度的散度。
咱们假定空间上少量（x，y，z）的温度由T（x，y，z）来示意，那么这个温度函数T（x，y，z）等于一个标量函数，咱们可以对它取梯度▽T，因为梯度是一个矢量（梯度有主见，指向变化最快的阿谁主见），是以咱们可以再对它取散度▽·。
咱们诳骗咱们在微分篇学的▽算子的张开式和矢量坐标乘法的轨则，咱们就可以把温度函数T（x，y，z）的梯度的散度（也等于▽²T）示意出来：
再对比一下三维的▽算子：
是以，咱们把上头的收尾（梯度的散度）写成▽²也辱骂常容易知道的，它跟▽算子的离别也等于每项多了一个往常。于是，拉普拉斯算子▽²就天然可以写成这样：
从拉普拉斯算子▽²的界说咱们可以看到，似乎它只能对作用于标量函数（因为你要先取梯度），但是咱们把▽²稍许扩展一下，就能让它也作用于矢量函数V（x，y，z）。咱们只须让矢量函数的每个重量分别去取▽²，就可以界说矢量函数的▽²：
界说了矢量函数的拉普拉斯算子，咱们稍许注释一下底下的这个论断（课下我方去讲明）：
然后再望望中间的阿谁东西，是不是有点眼熟？
咱们在求电场旋度的旋度的时候，不就刚好出现了（▽·▽）E这个东西么？当今咱们就可以仗义执言地把它替换成▽²E了，于是，电场旋度的旋度就可以写成这样：
▽×（▽×E）=▽（▽·E）-（▽·▽）E=▽（▽·E）-▽²E。
至此，咱们诳骗矢量的三重积公式推电场E的旋度的旋度的流程就已矣了，然后咱们就得到了这个极其遑急的论断：
它告诉咱们：电场的旋度的旋度等于电场散度的梯度减去电场的拉普拉斯。有了它，电磁波的方程立马就可以推出来了。
14见证古迹的时刻
咱们再来望望真空中的麦克斯韦方程组：
它的第三个方程，也等于法拉第定律是这样示意的：
咱们对这个公式双方都取旋度，左边等于上头的论断，右边无非等于对磁感应强度B取个旋度，即：
你望望这几项，再望望真空中的麦克斯韦方程组：方程1告诉咱们▽·E=0，方程4告诉咱们▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t），咱们把这两项代入到上头的式子中去，那收尾天然就变成了：
μ0、ε0都是常数，那右边天然就变成了对电场E求两次偏导。再把负号整理一下，终末的式子等于这样：
嗯，于是咱们就神奇般的把磁感应强度B消掉了，让这个方程只包含电场E。咱们再对比一下咱们之前叨唠了那么多得出的经典波动方程：
咱们在推导经典波动方程的时候只琢磨了一维的情况，因为咱们只琢磨波沿着绳索这一个维度传播的情况，是以咱们的收尾里唯一∂²f/ ∂x²这一项。要是咱们琢磨三维的情况，那么不难瞎想波动方程的左边应该写成三项，这三项刚好等于f的三维拉普拉斯：
是以咱们的经典波动方程其实可以用拉普拉斯算子写成如下更普适的局势：
再望望咱们刚刚从麦克斯韦方程组中得到的电场方程：
嗯，咱们推出的电场的方程跟经典波动方程的局势是一模一样的，当今咱们说电场E是一个波，你还有任何异议么？
咱们把电场E变成了一个寂寥的方程，代价是这个方程变成了二阶（方程出现了往常项）的。对于磁场，一样的操作，咱们对真空中麦克斯韦方程组的方程4（▽×B=μ0ε0（∂E/ ∂t））双方取旋度，再重叠一次上头的流程，就会得到寂寥的磁感应强度B的方程：
这样，咱们就发现E和B都疯狂波动方程，也等于说电场、磁场都以波动的局势在空间中传播，这天然等于电磁波了。
15电磁波的速率
对比一下电场和磁场的波动方程，你会发现它们是局势是一模一样的（等于把E和B互换了一下），这样，它们的波速也应该是一样的。对比一下经典波动方程的速率项，电磁波的速率v天然等于这样：
咱们去查一下μ0、ε0的数值，μ0=4π×10^-7N/A²，ε0=8.854187818×10^ -12 (F/m)，代入进去算一算：
再查一下真空中的光速 c=299792458m/s。
前者是咱们从麦克斯韦方程组算出来的电磁波的速率，后者是从实验里测出来的光速。有这样的数据作念支握，麦克斯韦昔日才敢果敢的预计：光等于一种电磁波。
天然，“光是一种电磁波”在咱们当今看来并不稀有，但是你回首一下历史：科学家们是在酌量多样电表象的时候引入了真空介电常数ε0，在酌量磁铁的时候引入了真空磁导率μ0，它们根柢就跟光无关。麦克斯韦基于表面的好意思学和他惊东说念主的数学身手，提议了位移电流假说（从推导里咱们也可以看到：要是莫得麦克斯韦加入的位移电流这一项，是不会有电磁波的），预言了电磁波，然后发现电磁波的速率只跟μ0、ε0干系，还刚好就等于东说念主们测量的光速，这怎样能不让东说念主战抖？
麦克斯韦一直以为我方在酌量电磁表面，但是当他的电磁大厦落成时，他却不测地发现光的问题也被顺遂解决了，正本他一直在盖的是电磁光大厦。搞表面酌量还可以买二送一，打折促销力度如斯之大，惊不惊喜，意不料外？
总之，麦克斯韦信赖我方的方程，信赖光是一种电磁波，当赫兹最终在实验室里发现了电磁波，并阐述它的速率确乎等于光速之后，麦克斯韦和他的表面取得了无上的荣耀。爱因斯坦其后却因为不太信赖我方的方程（认为寰宇不可能在延长）转而去修改了它，于是他就错失了预言寰宇延长的契机。当其后哈勃用千里镜不雅测到寰宇确乎在延长时，爱因斯坦为此恼恨不已。
16结语
回首一下电磁波的推导流程，咱们等于在真空麦克斯韦方程组的方程3和方程4的双方取旋度，然后就很天然的得出了电磁波的方程，然后得到了电磁波的速率等于光速c。这里有一个很要道的问题：这个电磁波的速率是相对谁的？相对哪个参考系而言的？
在牛顿力学里，咱们说一个物体的速率，笃信是相对某个参考系而言的。你说高铁的速率是300km/h，这是相对大地的，你相对太阳那速率就大了。这个道理在咱们前边谋略的波那里也一样，咱们说波的速率一般都是这个波相对于它所在介质的速率：比如绳索上的波通过绳索传播，这个速率等于相对于绳索而言的；水波是在波在水里传播，那么这个速率等于相对水而言的；声波是波在空气里传播（真空入耳不到声息），声波的速率就天然是相对空气的速率。
那么，电磁波呢，从麦克斯韦方程组推导出的电磁波的速率是相对谁的？水？空气？昭彰都不是，因为电磁波并不需要水或者空气这种实体介质身手传播，它在真空中也能传播，否则你是怎样看到太阳光和寰宇深处的星光的？况且咱们在推导电磁波的流程中也根本莫得预设任何参考系。
于是其时的物理学家们就假定电磁波的介质是一种遍布空间的叫作“以太”的东西，于是众人入手去寻找以太，但是怎样找都找不到。另一方面，电磁波的发现极大地支握了麦克斯韦的电磁表面，但是它跟牛顿力学之间却存在着根本矛盾，这种情况像极了当今广义相对论和量子力学之间的矛盾。怎样办呢？
1879年，麦克斯韦示寂，同庚，爱因斯坦降生，这仿佛是两代伟东说念主的一个吩咐庆典。麦克斯韦电磁表面与牛顿力学之间的矛盾，以及“以太”这个大坑都被年青的爱因斯坦料理了，爱因斯坦料理它们的设施等于大名鼎鼎的狭义相对论。其实，当麦克斯韦把他的电磁表面提议来之后，狭义相对论的问世就险些是势必的了，因为麦克斯韦的电磁表面其实等于狭义相对论框架下的表面，这亦然它跟牛顿力学打破的中枢。是以，爱因斯坦才会把他狭义相对论的论文取名为《论动体的电能源学》。
麦克斯韦的电磁表面已矣了一个时期，却又开启了一个新时期（相对论时期），它跟牛顿力学到底有什么矛盾？为什么非得狭义相对论身手解决这种矛盾？这些将是我背面要谋略的重心。我会神勇让众人看到科学的发展有它露出的内在逻辑和原因，并不是谁拍拍脑袋就提议一个震天动地的新表面出来的。
此外，电磁表面和牛顿力学的和会是东说念主类解决两个相称得胜却又平直打破表面的一次相称难得的耕作，这跟咱们当今濒临的问题（广义相对论和量子力学的打破）相称近似。我但愿大致通过这种文书给可爱科学的少年们一些启示，让他们以背面对广义相对论和量子力学打破的时候，大致有一些灵感。
嗯，没错，我在期待将来的爱因斯坦~